SPLTV

 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel


Nama : Dwi Gita komala sari


Kelas : X MIPA 3


Absen :10


Pengertian SPLTV


Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing – masing persamaannya juga bervariabel tiga.


Bentuk Umum SPLTV 


Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah:


a_1x + b_1y + c_1z = d_1

a_2x + b_2y + c_2z = d_2

a_3x + b_3y + c_3z = d_3


Dengan a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2, a_3, b_3, c_3, d_3 adalah bilangan real.


Keterangan:

a_1, a_2, a_3 adalah koefisien dari x

b_1, b_2, b_3 adalah koefisien dari y

c_1, c_2, c_3 adalah koefisien dari z

d_1, d_2, d_3 adalah konstanta

x, y, z adalah variabel (peubah)


Ciri-ciri SPLTV 


Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

Memiliki tiga variabel

Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Komponen Pembentuk SPLTV 


Variabel

Variabel adalah notasi pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel disebut juga sebagai peubah. Variabel biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti a, b, c, …, z.


Contoh:


Suatu bilangan jika dikalikan 3 kemudian dikurangi 9 menghasilkan 6. Maka bentuk persamaannya adalah 3x - 9 = 6 dimana x merupakan variabel dari persamaan tersebut. 


Konstanta

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.


Contoh:


Kontanta dari bentuk aljabar 5x + 7 adalah 7. 


Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.


Contoh:


Koefisien x dari 9x - 3 adalah 9. 


Suku

Suku adalah sebuah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.


Contoh:


Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 5, 3x, -2xy.


Penyelesaian SPLTV  


Metode Eliminasi

Contoh:


Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode eliminasi!


3x + 2y + z = 14

3x + 2y - z = 12

x + y + z = 6


Jawab:


Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:


3x + 2y + z = 14 …(1)


3x + 2y - z = 12 …(2)


x + y + z = 6 …(3)


Langkah 1 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2)):



Langkah 2 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3)):



Langkah 3 (eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5)):



Langkah 4 (eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5)):



Langkah 5 (subtitusi nilai x dan y ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai z):



Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah \left \{ 3, 2, 1 \right \}.


Metode Subtitusi

Contoh:


Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode subtitusi!


3x + 2y + z = 14

3x + 2y - z = 12

x + y + z = 6


Jawab:


Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:


3x + 2y + z = 14 …(1)


3x + 2y - z = 12 …(2)


x + y + z = 6 …(3)


Persamaan (3) ekuivalen dengan persamaan x = 6 - y - z. Subtitusikan persamaan x = 6 - y - z ke persamaan (1), diperoleh:



Kemudian subtitusikan persamaan x = 6 - y - z ke persamaan (2), diperoleh:



Persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan y = 4 - 2z. Subtitusikan persamaan y = 4 - 2z ke persamaan (5), diperoleh:



Subtitusikan nilai z ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai y:



Subtitusikan nilai y dan z ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai x:



Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \left \{ 3, 2, 1 \right \}. 


Metode Gabungan

Contoh:


Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode gabungan!


3x + 2y + z = 14

3x + 2y - z = 12

x + y + z = 6


Jawab:


Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:


3x + 2y + z = 14 …(1)


3x + 2y - z = 12 …(2)


x + y + z = 6 …(3)


Langkah 1 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2)):



Langkah 2 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3)):



Langkah 3 (mencari nilai x dengan metode subtitusi):


Persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan x = \frac{26 - 4y}{6}. Subtitusikan persamaan x = \frac{26 - 4y}{6} ke persamaan (5).



Langkah 4 (subtitusikan nilai y ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai x):



Langkah 5 (subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai z):



Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \left \{ 3, 2, 1 \right \}



 Metode Determinan  

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi).


■ Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A

=

a1

b1

c1

a2

b2

c2

a3

b3

c3


X

=

x

y

z


B

=

d1

d2

d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1

b1

c1


x

=

d1

a2

b2

c2

y

d2

a3

b3

c3

z

d3


■ Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.

D

=

a1

b1

c1

a1

b1

=

(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

a2

b2

c2

a2

b2

a3

b3

c3

a3

b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx

=

d1

b1

c1

d1

b1

=

(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)

d2

b2

c2

d2

b2

d3

b3

c3

d3

b3

Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy

=

a1

d1

c1

a1

d1

=

(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)

a2

d2

c2

a2

d2

a3

d3

c3

a3

d3

Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz

=

a1

b1

d1

a1

b1

=

(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)

a2

b2

d2

a2

b2

a3

b3

d3

a3

b3

Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.

■ Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.

x

=

Dx

D

y

=

Dy

D

z

=

Dz

 D

Contoh Soal : 

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2

1

1


x

=

12

1

2

−1

y

3

3

−1

1

z

11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

D

=

2

1

1

2

1

1

2

−1

1

2

3

−1

1

3

−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

■ Menentukan nilai Dx

Dx

=

12

1

1

12

1

3

2

−1

3

2

11

−1

1

11

−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

■ Menentukan nilai Dy

Dy

=

2

12

1

2

12

1

3

−1

1

3

3

11

1

3

11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

■ Menentukan nilai Dz

Dz

=

2

1

12

2

1

1

2

3

1

2

3

−1

11

3

−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x

=

Dx

=

−27

=

3

D

−9

y

=

Dy

=

−18

=

2

D

−9

z

=

Dz

=

−36

=

4

D

−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.

contoh soal : 



Diketahui :




Ditanya :




Jawab :






Kesimpulan :

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Ukuran sudut derajat dan radian

Gambar
 UKURAN SUDUT DERAJAT DAN RADIAN  nama: dwi gita komala sari X MIPA 3 Pada materi 1 ini Anda akan mempelajari pengertian Pengukuran Sudut. Konsep dasar pengukuran sudut adalah membagi satu lingkaran penuh dengan satuan tertentu. Ada tiga pengukuran yang masih banyak digunakan sampai saat ini yaitu : derajat, grad, dan radian. Tetapi yang paling umum dipakai adalah derajat dan radian. Ukuran Derajat Ukuran derajat adalah ukuran yang dapat dibentuk pada bidang datar dengan satuan (°) menggambarkan 1/360 dari putaran penuh. Sudut Dalam Derajat  Matematika Pengukuran Sudut Pengukuran Sudut Pada materi 1 ini Anda akan mempelajari pengertian Pengukuran Sudut. Konsep dasar pengukuran sudut adalah membagi satu lingkaran penuh dengan satuan tertentu. Ada tiga pengukuran yang masih banyak digunakan sampai saat ini yaitu : derajat, grad, dan radian. Tetapi yang paling umum dipakai adalah derajat dan radian. Ukuran Derajat Ukuran derajat adalah ukuran yang dapat dibentuk pada bidang ...
Baca selengkapnya

SPLTV kehidupan sehari hari

 SOAL KEHIDUPAN SEHARI-HARI DARI SPLTV  (SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL) Nama : Dwi Gita komala sari Kelas : X MIPA 3 Absen : 10 Soal Ilustrasi: Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Ali harus membayar Rp4.700. Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Badar harus membayar Rp4.300 Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Carli harus membayar Rp7.100 Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus? Penyelesaian: ■ Misalkan bahwa: Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah, Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah. ■ Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut. 2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100 yaitu merupakan SPLTV dnegan variabel x, y, dan z. ■ Penyelesaian SPLTV itu ...
Baca selengkapnya

Fungsi kuadrat

 Nama : dwi gita komala sari Kelas : X MIPA 3 Absen : 10  FUNGSI KUADRAT SOAL : 1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c! Jawaban: Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8 = a + 2b + 3c = 4 + 2(3) + 3(8) = 4 + 6 + 24 = 34 2. f(x) = 3x² - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c! Jawaban: = Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5 = 2a + 3b + 4c = 2(3) + 3(-2) + (4 x 5) = 6 - 6 + 20 = 20          ~♡~               FUNGSI RASIONAL ○~○ FUNGSI IRRASIONAL CONTOH SOAL Suatu fungsi irrasional ditentukan oleh rumus begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals square root of fraction numerator x minus 2 over denominator x plus 2 end fraction end root end style. Fungsi tersebut akan terdefinisi jika ... Pembahasan Soal: Fungsi irrasional adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real tak negatif kepada himpunan itu sendiri. Sehingga fung...
Baca selengkapnya